16. 否定倾向公理

我们之前讨论的所有认知公理,仅就其认知功能而言,都给认知增加了新的材料。 否定公理则不同,它虽然也可能给认知增加新的材料(比如范围否定),但同样会剔除已有认知中不合理的材料。

16.1. 公理的陈述与证明

否定倾向公理

认知功能

人们有一种倾向去否定任何对象,特别是抽象对象。 否定的类别包括:

  • 对象或判断自身:即认为对象或判断自身是不合理的;

  • 集合的范围:对一个集合的范围进行否定,就得到了集合的补集;

  • 精确性;

  • 泛化所引发的范围否定;

  • 对泛化结果的否定;

  • 对对象或判断的重要性的否定:认为一个判断并无问题,但并不重要,或者并不本质;

  • 等等。

评判功能

如果一个对象、判断或事件越容易被否定,则人们就越倾向于认为它是没有价值的; 相反,如果一个对象、判断或事件很难被否定,或者否定它只会得到更无价值的对象或事件,则人们就倾向于认为它是很有价值的。

证明1:婴儿的叛逆期

按照“认知发生顺序原则,我们可以确定的最早的“否定倾向”的体现,就是婴儿叛逆期。 在婴儿刚学说话时,他就会很早学会说“不”,并经常习惯性地使用它。 在这之前,他也经常使用肢体语言来表达否定。 这就是否定倾向在认知发展初期的体现:如果没有否定倾向,婴儿至少不可能那样频繁地去表达否定,因为他耳濡目染的语言经验,即他平时听到的成人之间的谈话,并没有这么频繁的否定。

证明2:语言中的现象

所有的语言都有表否定的词,并且它们都是非常常用的词:这些词的存在正是否定倾向试图让自己在语言中被表达的明证。

16.2. 否定类型1:命题自身,兼论矛盾律和排中律

我们否定一个命题,就会得到另一个命题。 然而要明确我们究竟得到了一个什么样的命题,我们必须要规定“否定究竟指什么”。

传统逻辑中的矛盾律(也称无矛盾律)和排中律,与其说是逻辑定律,不如说是“否定”这个概念在传统逻辑中的定义。 给定一个命题\(P\),我们把否定它所产生的命题,称为命题\(Q\),则命题\(Q\)要满足:

  • 矛盾律:命题\(P\)和命题\(Q\)不能同时为真。

  • 排中律:命题\(P\)和命题\(Q\)必有一个为真。

我们现在来分析矛盾律和排中律究竟是如何定义“否定”的。

比如我们否定“积木是方的”这个命题(命题\(P\)),得到“积木不是方的”(命题\(Q\))。 现在我们暂且抛却这个语义上的直观,只把“积木”看作一个对象,而“方”作为一个属性集合(形状)中的一个元素(方),来研究一下要满足矛盾律和排中律,命题\(Q\)需要具备什么样的条件。 为了更容易理解,我们在下面的讨论中仍然使用“积木”和“形状”这两个词。

  • 矛盾律首先告诉我们,命题\(Q\)必须要直接或间接地和积木有关,也必须要直接或间接地和积木的形状有关。 如果它和积木无关,比如“苹果是红的”,它就可以和“积木是方的”共存:根据矛盾律,它不能是命题\(Q\)。 如果它和积木的形状无关,比如“积木是白的”,它就也可以和“积木是方的”共存:根据矛盾律,它也不能是命题\(Q\)

  • 排中律进一步决定了,命题\(Q\)不能包含与积木形状无关的子命题,除非那个子命题恒为真(比如“在相对论中真空中的光速恒定”:这样的恒真子命题不在任何方面改变命题的真假)。 比如“积木不是方的,而且积木是白的”就不能是命题\(Q\),因为如果它是命题\(Q\),则在“积木是圆的和黑的”这种情况下,命题\(P\)和命题\(Q\)都不成立。

  • 矛盾律接着告诉我们,命题\(Q\)不能包含命题\(P\)中的任何情况。 比如命题\(Q\)不能是“积木是多边形的”。

  • 排中律最终决定了,命题\(Q\)必须包括积木除了“方形”之外其他所有的形状。

综上所述,命题\(Q\)涉及的对象只能是积木,涉及的性质只能是形状,不能包括任何的方形,而且必须要包含所有方形以外的形状。 这正是我们在自然语言中一般对“积木是方的”这一命题进行否定所产生的直觉。

用矛盾律和排中律来定义“否定”,否定倾向就得到了完满的表达。 矛盾律保证了最彻底的否定,因为没有任何残余没有被否定,而排中律则最大化了否定的成果,因为所有原命题不包括的情况都被蕴涵。

然而,我们并不一定非要这样定义否定。 矛盾律和排中律之所以被广泛接受,或者说我们用它们定义的“否定”之所以被广泛接受,从根本上来讲,只是因为它们最好地满足了我们的否定倾向, 而不是因为它们在逻辑上是“完美的”,不是因为它们必须要成立,也不是因为它们能在经验世界中被完美地应用。

  • 在经验世界里,很多现象用非此即彼的命题来描述过于繁琐,甚至可能会成为障碍。

    • 比如说,火车和隧道的关系,我们可以说有“火车在隧道里”和“火车不在隧道里”两种。 然而,火车并不是一个几何意义的点,它也可以部分的在隧道里。 因此,“火车在隧道里”和“火车不在隧道里”并不能完全地描述火车和隧道的关系,即不满足排中律。 然而,真正的问题不在排中律,而是在,我们对什么叫“在”,什么叫“不在”,并没有严格地定义。 比如,我们把“在”定义成“完全在”,那么原命题就是“火车完全在隧道里”,对其否定就是“火车不完全在隧道里”:它可以完全不在隧道里,也可以只有部分在隧道里。 这是完全满足矛盾律和排中律的。 我们也可以把“在”定义成“有任意一部分在”(包含了“全部在”和“只有部分在”),那么原命题就是“火车有任意一部分在隧道里”,对其否定就是“火车任意一部分都不在隧道里”,即“火车完全不在隧道里”。 这也是完全满足矛盾律和排中律的。

    • 比如说,一个音乐家说“无调性音乐不是音乐”,另一个音乐家说“无调性音乐是音乐”。 从形式上看,第二个命题看起来是第一个命题的否定,然则在自然语言里却不一定如此。 他们争论的实质其实不是这两个命题哪一个正确,而是谁对音乐的定义更合理。 如果我们明确地给出“音乐”的定义,这两个音乐家(假定都是理性人)会得到一致的结论。 然而,他们虽然得到一致的结论,同时又至少有一个会说,这个对音乐的定义不合理,不是他认为音乐应该有的定义。 因此,这个争论的实质问题是,同一律没有被遵守。 然而,这不代表这个争论是完全没有价值的,它可能引导我们给出一个对音乐更合理的定义。 关于同一律的,我们将在下一章中讨论。

    因此,如果我们真的要在自然语言里完全精确地定义每一个词,我们将没有日常的随意交谈,没有言简意深的诗歌:一切语言都将如同学术论文一样严谨。 然而,即使学术论文,也只是新思想经过逻辑整理,最终呈现出的形式,而不是新思想产生时的本来面貌:如果科学家在大脑里只采用这种形式来进行思考,他将难以作出真正有价值的研究。 我们在提出新概念和优化现有概念时,没有必要给自己加上一个“精确”的枷锁,虽然在新概念产生后,我们要用否定倾向和逻辑倾向对其进行严格的评判。

  • 即使在概念的世界里,矛盾律和排中律的地位也不是绝对无可否定的。 否定倾向会试图去否定一切,当然也包括矛盾律和排中律。

    • 我们曾经提到过,排中律并不适用所有的命题:

      • 比如当言及的对象本身不存在时。例如当对象被相互矛盾的性质所限定时就是这样。 具体的例子比如罗素的例子:“当今的法国国王是秃头”(《论指称》,1905年),比如“频率为\(1\) Hz的红光是电磁波”: “当今的法国国王(1905年)”和“频率为\(1\) Hz的红光”都是不存在的对象(这里“世界”的默认指向是“经验世界”:在“短语世界”中它们当然存在), 讨论它们的任何性质,不管是肯定的还是否定的,都是没有意义的,都得不到真的结果。

      • 比如当性质不适用于对象时。比如“质量是红色的”显然是荒谬的,否定它得到“质量不是红色的”仍然是荒谬的,因此排中律在这个命题上失效。 在这个例子里,“颜色”这个性质不适用于“质量”这个对象,所以不管怎么对颜色进行否定,也得不到一个真的命题。

      • 然而,以上的反例与否定在语言中的表现形式有关。 我们一般认为对“是”的否定就是“不是”,然而这却可能是有问题的,因为这样一来,被否定的对象就只能是谓词而不能是主词。 如果我们要进行更严格的否定,我们就要把所有的命题都写成判断:

        • 对“‘当今的法国国王是秃头’是真的”的否定是“‘当今的法国国王是秃头’是假的”;

        • 对“‘频率为\(1\) Hz的红光是电磁波’是真的”的否定是“‘频率为\(1\) Hz的红光是电磁波’是假的”;

        • 对“‘质量是红色的’是真的”的否定是“‘质量是红色的’是假的”。

        这样,我们就不仅可以否定谓词,还可以否定主词的存在性,而且可以否定主词与谓词之间的协调性。 在这种形式略显繁琐的否定下,同一律得到了遵守:否定得到的命题都是真的。

    • 矛盾律一般被更广泛地承认。一个原因是“爆炸原理”,即假定我们可以接受一个命题和它的否定同时为真,则我们可以以此为基础推出任何结论,不管它是正确的还是荒谬的。

在非经典逻辑里,矛盾律和排中律的地位就经常被撼动。 比如直觉逻辑拒绝排中律,次协调逻辑拒绝矛盾律,等等。

16.3. 否定类型2:集合的范围

我们对一个集合的范围进行否定就得到了它的补集。

  • 比如中国道家哲学中的“阴阳”,从本质上来说无非是把符合一些特性的事物定义为名为“阳”的(模糊)集合,而符合相反特性的事物定义为名为“阴”的集合。 给定全集(世界),定义其中一个集合时必然就定义了它的补集,而一个集合又和它的补集从本质上不同,所以说:“阴阳相互对立又相互依存”。 至于“孤阴不生,独阳不长”以及“阴极阳生,阳极阴生”这些概念,其实是“人类生存在一个在动态上相对平衡的生态系统中,并且只能生存在这样的生态系统中”这个命题的诸多推论。 任何一种有可能打破这种动态上相对平衡的事物或作用,如果单调地变多或变少,都会使系统不再适合人类生存。 如果考虑“宇宙的总熵”这种不直接影响地球上生态系统平衡的概念,假设我们认定其为“阴”,则这种“孤阴”会不断地生,而且它即使达到了“阴极”,也不会有“阳生”(假设现代物理学是正确的)。

16.4. 否定类型3:精确性

在这种情况下,否定倾向并不认为它尝试否定的命题是完全错误的,而只否定它的完全精确性。 比如我们一般会说“月亮是圆的”,而我们在运用否定倾向对其精确性进行否定时,则会说“月亮的形状并不是完美的圆,而只是近似的圆,因为它比圆略微扁平,因为在那个‘圆’的边缘上,其实有山脉,有月谷,有陨石坑”。

16.5. 否定类型4:泛化所引发的范围否定

泛化倾向公理决定了,如果我们有一个概念或判断,我们就有一种倾向去扩大它的适用范围,或者说去泛化它。 如果泛化成功,则以前概念或判断的适用范围就过小:这就否定了这个适用范围的最优性。

  • 例:面积的概念。人们最早对面积的概念大概只局限于,先把一块形状为单位图形(比如正方形)的土地定义为标准土地,并把标准土地的面积定义为一个单位面积,然后人们就可以通过对标准土地进行计数的方法来计算面积。 然而,人们并不满足于只计算这种特殊情况下的面积:他们很早就发现了多边形面积的计算方法,也不停地尝试来精确计算圆的面积。 最后直到人们提出了黎曼积分和勒贝格积分,才完成了这个历时几千年甚至上万年的泛化过程。 推动这个泛化过程的,正是泛化所引发的范围否定:每当我们计算出了哪怕一种新图形的面积(哪怕这种计算并不完全合理,比如在古代人们只能运用不太精确的圆周率), 否定倾向就会对面积这个概念以前的作用范围进行否定,来不仅仅容纳这个新图形,而且容纳包含这个新图形的尽量广泛的集合。 关于面积计算的详细讨论,见“面积”。

16.6. 否定类型5:对泛化结果的否定

任何概念或判断适用范围过大的根本原因,都是泛化,因为在这种情况下,我们必然先把适用范围“想当然地”扩大到了未经检验的情况上去。 在泛化之后,我们会对每种情况进行分别研究:这是分析倾向(切分倾向的一种)的体现,我们把其称为(泛化)验证(与逻辑验证相区别)。 验证本身就是否定倾向的一种具体表现,因为如果我们对一个判断笃信不移,我们就不需要去验证它。 因此,在验证背后,我们真正试图做的是证伪,即去找一个反例来否定它。 而验证成功,只不过是证伪的失败。

  • 比如我们在说\(1+1=2\)时,我们一般是指我们使用的进制是十进制,我们使用的加法是通常意义下的:但这些条件是隐含的、未言明的。 因此,我们就倾向于把十进制中的这个结论泛化到其他进制中去:比如在八进制和十六进制等进制下,\(1+1=2\)都是正确的。 但如果我们要把\(1+1=2\)泛化到任意整数进位制中去,会发现它在一进制和二进制下并不成立。 因此我们泛化的范围,即任意整数进制,就太大。 因此,我们就把这个泛化的范围修改成“3及3以上的任何整数进制”,并发现这个结论可以被证明。

  • 比如,我们做了很多人体解剖实验,发现在所有的样本中,心脏都是靠左的。 泛化倾向会引导我们去认为:“所有人的心脏都是靠左的”。 一旦我们发现了在一个新样本中,心脏是靠右的,我们就会去“否定”上述判断中“所有”这个适用范围, 从而把这个判断改成:“大部分人的心脏是靠左的”。

16.7. 否定类型6:对对象或判断的重要性的否定

否定倾向还可以否定对象或判断的重要性,亦即对象或判断本身无问题,但它不够重要,或不够本质。 比如人们会认为有“正确的废话”,例如“一件命题要么是对的,要么是错的”,又例如“人生中都必然会有成功,也都必然会有失败”。 至于另一个人是否认为这是正确的废话,则取决于他本身思维的气质和发展程度。 告诉一个小孩“一个说法要么是对的,要么是错的”,就绝不是废话,因为这会引导他抽象思维能力的发展。 同样,逻辑学家也不会认为这是废话,因为这正是逻辑学中排中律的一种表达形式。

16.8. 否定类型7:对“相等倾向”的结论进行否定

否定倾向可以试图对“相等倾向”的结论进行否定,而在经验世界中这往往是成功的。 否定倾向让我们认识到,很多我们本以为相等的对象,其实并不完全相等。 莱布尼茨就告诉我们:如果两个对象在任何方面都相等,那它们就只能是同一个对象,而根本不是两个对象。 如果把“时间”和“空间”的属性加到任何“时空中的对象”上,那这个结论在具有时空结构的世界中是显而易见的:在任何时刻占据同样空间的,只能是同一个对象。 这个结论经常被形象地描述为:“世界上没有两片相同的树叶”。

在概念的世界里也存在类似的情况:

  • 比如相等倾向的评判功能决定了我们会喜欢泛化倾向得出的一些结论,比如“所有的人都平等”。 在这里,泛化倾向对“我们都‘平等地’属于{人}这个集合”这个命题进行泛化,得出了“所有的人都平等”,即取消了“对于‘人’这个集合的属于关系而言”这个限制。 这个符合相等倾向评判功能的结论,会受到否定倾向的质疑:人和人明明有很多不相等的地方,比如出身、天赋和外貌等等,如果对这些性质进行泛化,岂不是得到了相反的结论?

但是与经验世界中的情形不同,在概念世界中存在否定倾向无法否定的相等性,比如相同的数字、数学等式等等。

这种否定的一个作用,就是引导我们去更细致地观察和分析,更多地去注意不同对象的个性,从而帮助我们避免陷入理性的独断。

16.9. 否定类型8:对各种细节的否定

这种否定往往与调整倾向有关。

  • 比如在我们在对一个系统进行优化时,我们往往认为这个系统是可取的,但是它在细节上是不完美的。 因此,优化的过程正是由我们对当前最优性的否定来推动的。

  • 比如我们可以对一个矢量的具体方向进行否定,来得到其他方向,而最强的否定就是它的反方向。 我们之所以说这是对于细节的否定,是因为我们如果我们对矢量本身进行否定,我们将得到“无”; 退一步讲,如果我们对矢量的方向性本身进行否定,我们就会得到一个无方向的线段。

16.10. 否定类型9:对各种认知倾向的否定

“否定倾向”倾向于去否定可以被否定的一切,当然也包括人的各种认知倾向。

16.10.1. 对“泛化倾向”的否定

对“泛化倾向”本身进行否定,会引导我们只思考、只表达我们在已知范围内的知识,而避免对其进行大而化之的泛化。 虽然这有一定的可取之处,但总是这样做就会引起思维的僵化。 更合理的方法是,我们充分运用泛化倾向来得到新的猜想或思考的方向,然后再充分运用否定倾向来考察这种泛化后的概念是否合理,即不可否定。 如果否定成功,即泛化不合理,我们可以使用调整倾向来改进泛化。

16.10.2. 对“对象化倾向”的否定

对“对象化倾向”的否定,一般是认为对象化倾向可以产生的所有结论都不够本质。 这种否定一般只存在于具有哲学思辩气质的思考中。 事实上,我们无法对“对象化倾向”完全否定:对于任何思维结果,我们都可用一个词来指代它,因此它在语言世界中仍然是一个对象:因此对象化倾向仍然起了作用。 然而在试图否定对象化倾向时,产生的对象却与其他对象不同,这个对象虽然可以有一个“语言标记”,但这标记指向的内容却是难以被认识的,或者说从本质上来说是不可能被表达清楚的,如果它真的指向什么确切内容的话。

下面我们给出一些哲学上的例子:

  • 在康德哲学里,对现象和表象的重要性进行否定,产生了“自在之物”的概念。 “自在之物”虽然是概念,但其指向却是不可认识的存在。

  • 在叔本华那里,表象世界中的存在只是意志的客体化,其本身不够本质,而意志这个概念的指向则是既不在时间里,也不在空间里,也不是概念的存在。

  • 在中国的道家哲学中,“道”也是那样一个存在。“道可道,非常(原为“恒”)道”的一个主流解释就是:可以言说的道,不是真正的、恒常的道。

在神话和宗教中的创世描述中,也经常有对对象化倾向的否定:比如在中国神话中,盘古开天辟地之前的混沌世界;比如在圣经中,《创世纪》开篇描述的空虚混沌;比如希腊神话中的卡俄斯

通过否定“对象化倾向”而产生的概念,迫使逻辑链条在那里结束:因为它的内容不能明确地被表达,我们也难以对其进行分析来找到它的“原因”,除非我们找到一个更加无法对象化的概念。 因此,对“对象化倾向”的否定,产生了很多关于“终极本质”和“世界起源”的理论。 需要注意的是,这种“本质”和“起源”与科学和数学中的“公理”并不相同:后者的内容可以明确地表达,而且在一套理论中,选择哪些基本命题(具有普适性的命题)作为公理有一定的任意性,因此也没有哪些基本命题比其他基本命题更本质的说法。 比如我们在量子力学中可以选择使用薛定谔表象(对应波动力学),海森堡表象(对应矩阵力学),或者狄拉克表象(也叫相互作用表象),来建立完全等价的理论。

16.10.3. 对“对象化倾向”、“事件化倾向”和“逻辑倾向”的共同否定

对“对象化倾向”、“事件化倾向”和“逻辑倾向”的共同否定,会引导我们从一种“极大客观”的哲学视角来看待世界: 整个世界是一个整体,我们对世界中存在的和发生的一切,都只认识它们的本来的样子,而不夹杂任何主观的看法和操作。 因此在这个视角下,对世界,我们不需要划分,不需要解释,不需要理解,而只需要体验和感悟;任何存在,都有着它本身的、独立的意义,而不需要用“还原论”的方法从别的存在那里获得意义。

人如果只作为一个世界的旁观者,就像电影院里的观众一样,这种视角诚然不错:在这个视角下我们不使用逻辑,也没有任何矛盾。 然而,我们不可能一直只使用这样一种哲学视角。 首先,我们要与世界互动,因此我们就需要决断,进而需要预判,进而需要理解事物之间的相互关系。 其次,我们不可能一直去压抑“对象化倾向”、“事件化倾向”和“逻辑倾向”:这虽然可能更为客观,但是却违反我们的本能。

16.10.4. 其他的情况与小结

如果用否定倾向对比较倾向和相等倾向进行完全否定,那么我们就根本不可能产生概念。 对切分、组合与调整倾向进行否定,则人类将极大地失去创造力。

事实上,按照认知发生顺序原则,否定倾向发生于大部分其他倾向之后。 如果没有对象化倾向产生对象,如果没有事件化倾向产生事件,那么否定倾向将无可否定。

总之,用否定倾向去否定各种认知倾向本身,可以产生一些哲学的思考。 然而,在几乎所有其他的领域,更好的方法是,把否定倾向运用于各种认知倾向得到的具体结论,而不是把它运用于认知倾向本身。 也就是说,我们充分运用各种认知倾向去得到绚丽多彩的结果,然后再充分运用否定倾向去验证这些结果是否可靠。

16.11. 由否定倾向引发的完全精确化

我们认为一个结论是完全精确的,唯一根本的原因就是我们找不到任何理由去否定它的精确性。 如果它的作用范围也是完全精确的,那么否定倾向连先泛化再试图否定泛化后的结论,也无法做到。 在这种情况下,否定倾向的结论被否定,给人的思想带来一种强烈的震撼,即“真”的感觉。

  • 例1:人们千百年来认为“两点之间线段最短”是不容置疑的,事实上只是因为他们无法找到一条连接这两点的、更短的曲线。 一旦他们找到,比如在非欧几何中、比如在广义相对论的空间折叠中,这种信念就被打破了。 事实上,他们否定的只是泛化后的结论:在欧几里得的年代,欧氏空间是人们在数学上认识的唯一的空间,而在后来空间的意义却被泛化了。

  • 例2:数学猜想和数学公理。

    • 对于以哥德巴赫猜想和黎曼猜想为例的数学猜想, 我们认为它们至少是在极大概率上是正确的,因为在当代,计算机验证了极其多的实例而没有发现反例。 一旦发现了反例,这个数学猜想就会被认为是不完全精确的了:事实上在数学的严格性下,它就会被认为是错误的。 相反,一旦一个数学猜想被严格地证明,我们就认为它是精确的,从而升级为数学定理了。

    • 然而,虽然数学定理可以被严格地证明,但那个证明系统本身仍然包含不能被严格证明的假设。 在现代数学中,我们一般使用ZFC公理体系(加上选择公理的策梅洛-弗兰克尔公理体系), 而哥德尔第二不完备定理告诉我们,ZFC的一致性不能在ZFC自身之内被证明。

例1与例2的区别:从例2的论证看来,我们似乎并没有任何方法来得到完全精确的知识,而只是能得到“如果体系的基础假设是完全精确的,那么由它们推出的所有结论也是完全精确的”, 或者说是一种“相对精确”的知识。然而,我们如果再去看一下例1,就会发现并不完全是那样:为什么有人用计算机大规模验证黎曼猜想,却没有人用计算机大规模验证“在欧氏空间中两点之间线段最短”? 对此,我们将在“时空”中讨论。

16.12. 否定倾向公理与其他公理的关系

正如我们已经讨论过的,虽然所有认知倾向都可以是否定倾向所否定的对象,但更有意义的是去否定认知倾向产生的具体结论。 对其他公理产生的结论,包括否定倾向公理自己所产生的结论,否定倾向可以给出最严厉的评判。 而我们认为一个结论是否真的合理,很大程度上是取决于这个结论是否能够经受住否定倾向的评判。

否定倾向的结论,则不仅可以给其他倾向提供新素材,比如对集合范围的否定,也可以给其他倾向提供更为坚实可靠的素材。