17. 逻辑倾向公理

在本书中,逻辑指抽象事物之间的联系。 抽象事物具体包括概念、抽象事件、命题和判断。

17.1. 公理的陈述及证明

逻辑倾向公理

认知功能

  • 形式上的关联倾向:人们(在智力上)倾向去建立抽象事物之间的联系。

  • 动力上的本质倾向:人们(在智力上)倾向于喜欢本质的东西。对于已经被直接关联的抽象事物,我们用如下准则来判断哪个或哪些抽象事物更为本质:

    • 在作用于事件时,人们倾向于认为越早发生的事件就越本质:具体的体现就是因果律。

    • 在作用于概念、命题及判断时,人们倾向去认为:

      • 如果它越具有普适性和不变性,就越本质:具体的体现就是我们对普遍规律和终极理论的探求。

      • 如果B的陈述必须依赖于A,而A的陈述不必依赖于B,那么A就更本质。

评判功能

  • 人们倾向于偏好假设少而联系丰富的抽象系统,或者说人们偏好使用更多的、更精致的逻辑关系,而不是使用更多的假设。

  • 人们倾向于偏好更本质的概念、命题和判断。

逻辑倾向公理的证明

证明1:从认知发生的方面

一个刚学会说话的小孩就会不停地问“为什么”:这就说明他不仅仅满足于知道一个事实,而且要尝试建立这个事实与其他事实的关系,特别是因果关系。

证明2:从语言记录的方面

所有语言中都有丰富的表逻辑关系的词和结构,比如各种连词以及表连接关系的副词(比如“果然”)和介词(比如接名词时的“因为”)。 我们在语言中,即使在最简单的对话中,都要明确句子之间的关系。 我们的各种文字资料,特别是学术文献,都在向我们证明着人们有着逻辑倾向。

17.2. 对公理陈述的若干讨论

1、本书中逻辑倾向的具体内涵

我们要特别指出,在本书中,逻辑倾向严格来讲只指以上公理陈述中所表述的内容:我们称之为普遍逻辑

  • 普遍逻辑不包括任何其他被经常归于逻辑的东西,比如逻辑的自恰性和完备性。 普遍逻辑并非科学思维所独有,而是作为普遍的思维方式存在于几乎所有的人类抽象思维活动中。

如果我们给普遍逻辑加上其他理想化条件,比如严格性、自恰性和完备性,我们就称其为完美逻辑。 它经常被用于科学研究之中。

  • 我们将指出,完美逻辑是逻辑倾向与否定倾向共同作用的结果。 我们将在本章详述这些含义是如何用认知公理推导出来的。

在本书中,我们提到逻辑时,默认指普遍逻辑。 但为了方便,如果上下文清楚,它也可以指完美逻辑,特别是在与科学有关的一些讨论中。

2、逻辑倾向与否定倾向,起作用的情况更多的是在我们使用高等智力(大概对应传统上的理性思维)的时候。

如果一个人当下不倾向于从高等智力的角度来考虑问题,或者一个人觉得当下脑子很累需要休息一下,当然逻辑倾向就难以起作用。 事实上,逻辑倾向和否定倾向,或者更广泛地说,所有的认知倾向,都只是人们所有倾向中的一部分。 人们还有其他方面的倾向,比如情感上的倾向和实践上的倾向:

  • 情感的因素。人们可能在认知上明确地知道一件事情,然而在情感上却难以接受它。 比如毕达哥拉斯就不能接受\(\sqrt{2}\)是无理数这个事实:他无法否定希帕索斯的证明,结果希帕索斯被丢进海里淹死了(根据杨布里科斯的记载)。

  • 实践上的需要。人们一般不可能把所有问题都想明白才去行动。因此,从实践的角度出发,人们也经常接受一些并不能很好满足人们在逻辑倾向和否定倾向上的所有要求,但是在实践中却很有效的唯象理论或经验直觉(比如对以前经验的泛化)。 一个很好的例子就是在魏尔斯特拉斯进行严格化之前的微积分:它虽然在逻辑上不甚严格,但我们却可以使用它来解决很多实际问题。

并非所有的人都有非常强烈的逻辑倾向:很多人更倾向于去感受和体悟世界而不是去分析世界。 只是,学者中具有强烈逻辑倾向的人居多,一是因为他们喜欢各种研究里的逻辑关系,所以容易被吸引来做研究; 二是因为运用他们的逻辑倾向和否定倾向,他们容易得到研究成果:那些成果不一定出色,但至少符合一定的标准。

3、逻辑倾向适用范围的普遍性。

现代人经常谈起逻辑就想到数学和科学。 这是因为,人们在非常多的领域已经找到了科学的研究方法。 因为这些科学的研究方法相比其他方法,有着无与伦比的优势和丰富而坚实的成果,所以人们一旦想深入了解那个领域,就必然会接触到科学的、逻辑的建构。 因此,科学和逻辑经常同时出现,也就容易被简单地绑定在一起。

然而,逻辑倾向作为一种普遍的思维方式,有着丰富得多的作用范围,包括科学、技术、文学、艺术、哲学、神话、传说、巫术、宗教、日常生活等等。

  • 一个作家在写小说时,要充分考虑各事件之间的联系,以使得它可以更好地符合逻辑倾向的评判功能。

  • 古人在回答“天为什么会打雷”,可能会给出“因为天神在发怒”,“因为雷神要除掉坏人”等原因。 这就是逻辑倾向的结果。 在中国古代神话里,各种自然现象都有神来掌管,而神又分等级:天庭的组织结构和人间政府的组织结构非常类似(泛化倾向的结果)。 使用这种想象出的对象和概念,古人就发展出了一套解释自然现象的方法。 这一整套神话架构,都是逻辑倾向的结果。

至于为什么现在不再有那么多人相信这种神话的解释体系,那是因为这个体系并不如科学的解释体系那样好地满足否定倾向和逻辑倾向的评判功能。 关于这一点的具体讨论详见“关于评判功能的讨论”。 然而我们不能否认,人们虽然基本不再认为那些神话是真的,但是一套逻辑严密的神话体系还是蛮有趣的。 即使我们知道神话不是真的,我们还是会对神话里的事物去问为什么。 如果能得到一个满意的回答,逻辑倾向的评判功能就会得到满足,因而我们会觉得它有趣。

4、逻辑倾向的认知功能,主要关心的是建立抽象事物之间的联系,而非这关系本身的合理性和正确性。

从上一条我们关于小说和神话的讨论中,我们可以清楚地意识到这一点。 评判逻辑关系的合理性和正确性,主要是否定倾向的工作。

人们的思维的方式,从来都是先创造,再评判,然后如果需要,就根据评判对先前的创造进行调整来进行新的创造,如是循环。 如果在创造的时候,强行加上“创造的结果必须合理和正确”,那么创造的过程就经常难以进行。 因此,我们在试图建立逻辑关系时,最多只能把“尽量合理和正确”作为目标和方向:而这,只是一种最保守的思维态度。

5、逻辑在动力上的本质倾向

逻辑在动力上的本质倾向具有微观和宏观两方面的含义:

  • 在微观上,任何直接联系的命题或事件之间,都要有一个谁更本质的问题:即哪个或哪些是原因,哪个是结果。 从根本上来说,逻辑在微观上的本质倾向,是泛化倾向的结果。

    • 在事件世界里,人们首先是认识到了一些事件之间有联系:他们可以通过调整某些先发生的事件,来控制后发生的事件。 这使得人们认为这些有联系的事件中,先发生的事件更本质。 然后,人们把这种思维模式进行泛化,就得到了因果律。 人们有了因果律的概念,并且发现它在各种应用中屡试不爽,所以因果律就上升为了定律。 当然如我们在前文所述,只要再考虑一下事件划分本身的任意性,我们就知道因果律的本质是把人为切分得到的事件进行逻辑的联接。

    • 在对象世界里,人们通过分析倾向来研究各种对象,发现经常会得到相同的子对象,我们就倾向认为那个子对象更为本质:这里我们其实用到了相等倾向的评判功能。

      • 比如,给定一些建筑,我们去分析它们,发现它们都是用砖头、水泥等基本建筑材料建造而成的。 我们就倾向于认为同样的砖头,同样的水泥,比那些形形色色、彼此不同的建筑要更本质。

      • 比如,我们在用科学的方法分析经验世界中的各种对象时,最终总会归结到原子、光子、基本粒子之类子对象。 因而,我们就倾向于认为这些总数极其有限的子对象,比我们在生活经验中认识到的杂多宏观对象,要更为本质。

      通过类推倾向,在概念的世界里,我们也认为通过分析不同命题经常得到的命题或判断,比原命题或判断更加本质,因为它们的适用性更广泛。 人们把这种本质思维泛化到所有可能有联系的两个对象之间,就产生了逻辑在微观上的本质倾向。

  • 在宏观上,我们在不停向前追溯本质时,要保证“越靠前的命题和事件就越本质”这一条件不被破坏。比如在循环论证中,虽然微观上的本质倾向在每一步都被满足,然而宏观上的本质倾向却没有被满足。

    • 试想,我们如果把循环论证“A-B-C-A”中的任何一环拿掉,则得到的论证都是符合逻辑在动力上的本质倾向的。然而,比较两个这种实例“A-B-C”和“B-C-A”,我们发现前者中的原因变成了后者中的结果。 这就说明逻辑上的本质倾向只是一种主观的偏好,而不是评判对错与否、合理与否的标准。

逻辑在动力上的本质倾向,并不等同于形式上的因果关系,即在一段逻辑推理中,哪个命题被放在了原因的位置上,哪个命题被放在了结果的位置上。 这是因为,我们在逻辑上经常会使用逆向推理:即通过考虑原命题的逆否命题来对原命题作出判断。

  • 比如在“我思故我在”这个的推理中,我们是从“我思”(形式上的原因)推测出“我在”(形式上的结果)必然成立。 然而,根据逻辑的本质倾向,“我在”才是更本质性的,因为“我思”一定依赖于“我在”,而“我在”并不一定依赖于“我思”。

逻辑在动力上的本质倾向,是逻辑构造的重要动力。 然而,它不满足于停留在任何一组公理上。 即使我们找到了可以解释一切现象的“终极本质”,逻辑在动力上的本质倾向依然会引导我们去问:这“终极本质”的本质是什么。

然而,这种矛盾性并没有太大的问题,因为逻辑在动力上的本质倾向只是一种倾向而不是一种强制的要求:它不一定会给出正确的或有意义的结果,就像泛化倾向不一定会给出正确的结果一样。 从认知发生顺序来说,我们是先有了逻辑在动力上的本质倾向,然后在本能地使用了很长时间这种倾向之后,才有可能提炼出了逻辑定律(在某种意义上逻辑的本质),比如矛盾律。 在世界多种多样的文明中,独立发展出逻辑学的文明少之又少,但在没发展出逻辑学的文明中,人们思考问题也并非不使用逻辑。 不仅如此,逻辑上的本质倾向同样可以是否定倾向的作用对象。 比如在采用公理化方法的现代数学中,对公理更进一步的本质的探求,在公理体系内部被否定倾向所否定了。 否定倾向甚至可以去完全否定逻辑在动力上的本质倾向本身,去产生“没有什么事物比其他事物更本质”这种哲学思维。

6、关于评判功能的讨论。

逻辑倾向的评判功能,简单来说,是逻辑的认知功能是否被满足的具体体现。 一个人在尝试用逻辑倾向来理解一个抽象系统时,如果发现了他想要的逻辑结构,甚至比他的预期更为严格和精妙的逻辑结构,正明确地被展现在他的面前,他就会倾向于喜欢这个抽象系统。

因此,评价一个抽象系统的好坏,并不仅仅取决于抽象系统的解释能力(这是否定倾向的评判功能的体现),也取决于抽象系统本身的结构特征(这是逻辑倾向的评判功能的体现)。 下面我们给出几个例子来说明这一点。

  • 比如,一个世界系统说,神无时无刻不在控制着所有事物:它们这样运动是因为神是这样控制的,它们的运动有相似性也是因为神是这样控制的。 在这个系统中,所有的事件都成了唯一一件事情的推论:它是一个只有一级树状结构的逻辑系统。 对于这个笨拙而粗糙的系统,我们无法否认它:它既不能被证实也不能被证伪,但是它可以解释任何事物。 然而,我们不喜欢这样的系统:用叔本华的话来说,它并不符合我们的口味。 是的,这样的系统严重地缺乏逻辑上的美感,就像“飞天面条神教”所讽刺的那样。 更深层次的原因是,这个逻辑结构本身没有解决任何问题:它只是把所有“一个事物为什么如此”这样的命题,都转化成了“神如何控制这个事物以使它如此”这样的命题,而对“神究竟是如何控制的”没有作出任何说明。 而当这个体系掩盖了所有“神如何控制这个事物以使它如此”的解释(比如认为神的想法和行为(本身是泛化倾向的结果)不是我们可以想象的)而只突出“神的控制”时,那么这个体系就是拙劣的。 这是因为,“神的控制”这一个同样的原因却推出了成千上万不同的结果——和体系要解释的问题一样多:否定倾向就会引导我们怀疑“神的控制”根本不是任何事物原因,而只是独立于所有事物的一个命题。

  • 牛顿力学这个抽象系统,在结构上就和上面这个“神控”系统完全不同。 牛顿只用了三个运动定律,万有引力定律,以及其他一些来自实验的具体规律(比如胡克定律),就解释了当时已知的一切机械运动。 如果我们只去单纯地思考这些定律本身,而不去研究它们在经验世界中纷繁复杂的对象中的体现(表现为方程的联立),比如不同的物理参数、不同的边界条件、不同的对象选择(比如整体和部分)等等, 我们就无法想象它的很多结论:比如开普勒行星运动定律,比如为什么苹果会落到地上而月亮不会落到地上,比如为什么我们可以控制三角帆来让帆船逆风航行。 牛顿力学这个抽象系统,就是一个很好地满足了逻辑倾向评判功能的典型例子。

  • 比如,如果我们采用休谟式的怀疑主义(否定倾向的结果),去否认因果关系而只承认继起,并且采取完全的经验主义,即只承认经验是真实的,那我们就得到了这样一个抽象系统: 在那里,所有的事件都是系统的假设,而没有任何事件是逻辑的结论,因为在这个根本不存在事物之间的联系(除了时间上的先后顺序和空间上的位置关系)的系统里,逻辑根本没有用武之地,也就不可能有任何的逻辑错误。 这个系统也可以“解释”任何事件,因为它取消了所有事件需要被解释的必要性。 从感受的角度来看,这种世界观并没有什么问题。 然而一旦我们尝试用智力来理解这个世界,就连怀疑主义者自己也不能满足于这样一个解释系统(否则他们无法去组织论证,更无法构建一套哲学理论,无论那套理论在表面上看起来是什么样的),因为它极不符合逻辑倾向的评判功能。

17.3. 完美逻辑:逻辑倾向与否定倾向的共同作用结果

完美逻辑的实质,是对否定倾向和逻辑倾向的评判功能的最大满足。

如果一个逻辑系统中的逻辑联系可以被否定倾向否定,那这种“逻辑联系”就并不完美,因为它不符合否定倾向的评判功能。

  • 比如在很多神话中,神住在天上,而我们现在更好地认识了天空,但并没有在那里发现神,这就构成了对“神住在天上”这个命题的否定,进而使得整个神话体系也变得不可信了。 虽然我们仍然可以辩解说,神住在那个“天上”和科学所说的那个“天上”并不是同一个概念,指向的也不是相同的地方。 但说神住在“‘科学可及的天’之外的天上”,则太过虚无缥缈,也经常与神话传说中的具体描述相矛盾,以致让人们难以想象和相信。 这里我们说的虚无缥缈,指得是难以对象化:试图说服别人的人自己都很难想象出关于那个“天上”的任何具体细节,因为神不能像以前的描述那样住在(当时)人迹不可及的高山上、丛云中、日月星辰间等人们容易对象化的地方。

完美逻辑的产生,一般是一个复杂的过程:

  • 首先我们产生了很多套的逻辑,或者说猜想,然后否定倾向来评判哪些猜想完全不合理,哪些猜想有可取之处(猜想I)。

    • 如果猜想I不并不完善,我们则通过最优性被得到否定的具体实例来猜测问题的所在(这又是一个逻辑建构,我们称为猜想II)。

    • 调整倾向依据猜想II,来对猜想I进行调整,以试图消除原本的问题。

  • 以上过程循环往复,直到我们最终获得完美逻辑为止,如果这是可能的话。

现在我们就通过逻辑倾向公理和否定倾向公理来解释完美逻辑的一些要求:传统逻辑的同一律,以及现代公理化系统追求的自洽性及完备性。

17.3.1. 传统逻辑学中的同一律

传统逻辑学中的同一律指的是,在一段逻辑论证中,一个词或一个符号所指代的内容不能发生变化。 从根本上来讲,这是完美逻辑的严格性和精确性的要求。

上一章中,我们讨论过,我们之所以会认为一个命题是完全精确的,是因为我们找不到任何的理由去否定它。 而我们之所以承认同一律,就是因为如果一段逻辑论证不遵守同一律,否定倾向就可以成功否定这段论证,而否定的成功就削弱了这段逻辑论证的价值(否定倾向公理的评判功能)。 具体来说,如果在一段论证中,一个词或一个符号所指代的内容发生了变化,那么纵使这段论证本身单从符号推导来看是没有问题的,也不能说明这段论证适用于符号系统所指向的系统, 因为“符号”与“指向”之间一一对应的关系被破坏了。

在使用自然语言描述感官世界或经验世界时,同一律很难被遵守

虽然我们一般认为同一律是普遍逻辑规律,但事实上,我们在用自然语言描述感官世界或经验世界时,难以真正使用同一律。 下面,我们以赫拉克利特的名言“一个人不能两次踏入同一条河流(更精确的翻译是‘相同的河流’)”为例,来说明了这个问题。

  • 从最严格的意义上来讲,在感官世界中,两个对象完全相同,它们占据的时间和空间就必须相同。 所以从这个意义上说,一个人在不同时刻不是同一个人,一条河流在不同时刻也不是同一条河流,即使人不动,河不流,也不与其他对象发生作用。

  • 如果放宽“占据时空不能变化”这个最严格的限制,我们可以把感官世界中的物体定义为“对象化倾向所形成的对象所包含物质的总和”。 然而,一条河在不同的时刻包含的水并不相同:有一些水流入,而有一些水流出。 人也一样,人无时无刻不与外界进行着物质交换:比如空气被吸入呼出,比如水分通过皮肤蒸发,比如吃饭、喝水和排泄。

    • 因此,像“爱一个人就是爱他/她的全部”这种当下流行的格言,很多都是无稽之谈, 因为说话的人并没有真正的去想“全部”是什么意思:难道一个人吸了一口气,吃了一顿饭,他的全部没有变? 他大概只是错误地表达了“爱一个人就既要爱他/她的优点,也要爱他/她的缺点”这个命题。 然而又有谁会同意这个合取命题中的后一个子命题“爱一个人就要爱他/她的缺点”,难道不应该是“宽容他/她的缺点”? 之所以有人会喜欢这个格言,是因为它符合了相等倾向的评判功能。

柏拉图认为,可感世界(感官世界)不完全可知。 我们从现代的观点来阐述这个观点,可以认为除了无法无误差地观测感官世界外,我们难以在用自然语言描述感官世界的过程中运用同一律,从而难以应用严密的逻辑,也是一个重要原因。 当然,现代人很容易想到,科学事实上成功地描述了感官世界,或者说至少非常接近于成功。 这是因为科学使用符号语言,并且允许参数化的描述,比如用带时间参数的变量\(f(x,t)\)来表示一条绳子上\(x\)点在\(t\)时刻的受力,我们说\(f(x,t)\)是符合同一律的。 但\(f(x,t)\)不是感官世界中的存在,而是物理世界(概念世界的一种)中的存在。 这是因为,任何量都依赖于测量因而依赖于人的存在(想一想量子力学中的测量就很容易明白)。 我们在不做具体测量却提及一个量的值时,事实上使用的是泛化倾向:对量的适用范围的泛化、对物理规律适用范围的泛化、对“宏观对象对应的物理量测量值在一系列的实验中表现出了误差范围内的可重复性”这个经验的泛化。 更何况,我们用微分方程来描述绳子的受力和运动时,我们把它当成是无限可分的——这是数学中的抽象模型(牛顿力学常用),而不是经验世界中那条实际上是由原子组成的绳子。

当然,从理论上来说,所有符号语言表达的内容都可以用自然语言表达,只是经常会非常繁琐而且不符合人们的直觉和习惯。 比如,我们可以定义一条“随时间变化的河”:它在一个时刻的定义是当时水道所占据的空间加上水道周围一定范围内土壤、石头或砂石所占据的空间(比如加上河宽的5%)以及当时在这些空间中的所有物质的总和。 因为总使用这样的表述很不方便,所以我们可以在符号上把它记为\(r(t)\):这事实上是一种对象化。 用符号来分析可以帮助我们意识到自然语言里一些有趣的现象。 比如“我永远是我”说的绝不是“\(I(t)\equiv I(t)\)”,其中\(I(t)\)代表随时间变化的我,而其实是“\(f(I(t))\equiv c\)”,即\(I(t)\)的某种性质不随时间变化:因此同一律在这里被违背了。 如果\(R\)代表对“踏入”这个关系的判断,则“我在\(t\)时刻踏入河流”就可以表示为“\(R(I(t),r(t))\)为真”; “我在\(t_1\)\(t_2\)这两个不同的时刻踏入河流”,就可以表示为“\(R(I(t_1),r(t_1))\)\(R(I(t_2),r(t_2))\)均为真”; 而“我在\(t_1\)\(t_2\)这两个不同的时刻踏入相同的河流”就要再加上“\(r(t_1)=r(t_2)\)”,而\(r(t)\)的定义决定了这个条件不可能为真,所以“我不能两次踏入相同的河流”。 但这只是赫拉克利特对“相同的河流”的理解,即相同的河流指的是\(r(t)\)相同,而大部分人在日常生活里,集合\(\{r(t)\}\)中的所有元素都被认为是同一条河,不管它是否改道,不管它的水位是否变化: 而这正是由比较倾向和相等倾向所引发的抽象化

抽象世界中的同一律:本质概念的不变性

在抽象世界中,我们可以试图建立完美逻辑,其中的原因之一就是,在抽象世界中存在满足同一律的对象。 比如什么是自然数,什么是三角形,什么是质量,都是确定无疑的,虽然我们不一定知道如何去定义它们。 描述物理世界的微分方程本身也是不变的,里面涉及的物理量本身的概念也是不变的,虽然物理量本身可能是参数化的。 一个物理量可以是时间、空间和其他参数的函数,然而给出固定的参数值,它就是固定的、满足同一律的。

这正体现了我们在公理描述中所说的逻辑在动力上的本质倾向:我们倾向用不变的、普适的概念、命题和判断,去解释多变的现象。 这也正是所有理论科学的研究目标。

与赫拉克利特“万物皆流”的观点相反,巴门尼德则指出:真实变动不居,世间的一切变化都是幻象。 事实上,这两个观点是指向两个世界的:对于巴门尼德那个世界,赫拉克利特也提出过类似的概念“逻各斯”。 现代自然科学所做的事情,用一种幽默的说法,就是尝试用巴门尼德式的“不动的世界”来解释赫拉克利特式的“万物皆流”的世界。

17.3.2. 关于“完美逻辑”的自洽性

完美逻辑的自洽性,具体包含了两方面:

  • 概念自身的无矛盾性。 比如“全能”这个概念,本身就隐含着“全能的上帝能不能造出一块自己也举不起来的石头”这种悖论。 这种概念如果存在于一个抽象系统中,就必定会引发争论。

  • 抽象系统中诸概念之间的无矛盾性。 更确切地说,它是指在一个抽象系统中,如果一个结论可以通过任何一条逻辑路径被推导出来,那么系统可能推出的所有结论,都不能与这个结论相矛盾。 一个例子是公理化集合论:它用正则性公理排除了罗索悖论出现的可能性。

普遍逻辑本身并不强制地要求自洽,除非我们通过逻辑去建构的那个世界需要自洽。 比如一本小说,往往难以做到前后所有的情节完全自洽,但这并不就意味着小说里所描述的那个世界的崩溃。 这是因为,在一本小说里,情节之间相互矛盾之处经常没有被显式地描写出来:作者不可能把所有情节的相互关系都穷举出来,因为那看起来完全就不像小说了。 即使是细心的读者,一般也不会因为发现了一个潜在的、不重要的矛盾,而去否定整本小说。 事实上,即使是最终达到的结果需要自洽,我们也不需要在解决问题时一直要求逻辑的自洽性,否则逻辑倾向根本难以运作,连一般的逻辑都难以产生,更遑论“完美逻辑”。

对于研究确切的存在以及它们之间关系的学科,逻辑的自洽性就是必要的了,因为逻辑矛盾直接与存在的存在性相冲突。 比如我们在用一套理论研究经验世界时,从一个方面推导,一个物体应该是红色的,而从另一个方面推导,这个物体应该是绿色的。 而红色和绿色是互斥的概念,所以这个物体只能属于空集,即这个物体不存在:这就直接与这个物体的存在性相矛盾。 当然,以上推导要成立的前提条件是我们必须要确定这个物体一定存在,即我们在本段开头限定的“确切的存在”。

人们之所以会偏好一个逻辑上自洽的系统,是因为这样的系统符合了否定倾向的评判功能,否则这个系统就一定可以被否定倾向所否定。 因此,即使在不强制要求逻辑自洽的情况下,人们也更倾向于去偏好逻辑自洽性强的抽象体系。 比如在神话和传说里,相比一个逻辑上荒谬的神话体系,人们从智力上更倾向于接受一个逻辑上更自洽的神话体系,虽然一个神话体系在逻辑上自洽的程度,只是决定人们是否喜欢它的一个要素。

17.3.3. 关于“完美逻辑”的完备性

在我们试图建立抽象系统去研究一个领域时,如果这个系统包含的明确假设以及这些假设相互作用产生的结论,可以解释这个领域中的一切问题,那么我们就说这个抽象系统是完备的。 我们之所以倾向于建立具有完备性的系统,是因为我们想要让逻辑倾向中的关联倾向和本质倾向同时得到最大的满足:

  • 要让形式上的关联倾向达到最大的满足,我们就必须要把这个领域中所有的问题进行有机的联接。

  • 要让动力上的本质倾向达到最大的满足,我们就必须把所有的问题指向最终的本质,即这个系统的明确假设。

因此,完备性只是我们希望逻辑可以达到的一种理想状态,即对逻辑倾向评判功能的最大满足,并不意味着它一定可以达到这种理想状态。 事实上,在很多具有完备性的理论,或几乎具有完备性的理论,被发展出来之前,基本不会有人相信这是可以达到的。 比如在牛顿力学被发展出来之前,几乎不会有人相信当时人们可以观测的经验世界中的运动,都可以从几个简单而明确的定律那里得到精确的解释。 在数学系统中,完备性经常也是难以保证的:哥德尔不完全性定理就向我们阐释了,在任何一个足够复杂的(包含皮亚诺算术)、自洽的形式系统中,我们都不可能通过逻辑推演来得到所有的真命题。

17.4. 逻辑的建立、验证与证伪

逻辑的建立是指,我们在研究一些给定的抽象事物时,尝试在它们之间建立逻辑关系的过程。 比如我们要研究\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)这五个抽象事物的关系。 首先,比较倾向选择比较对象,比如\(A\)\(C\),然后泛化倾向或组合倾向用\(A\)\(C\)和因果关系组成了一个命题:\(A\)\(C\)的原因。 然后我们就要去验证\(A\)究竟是不是\(C\)的原因,比如改变\(A\)来看\(C\)是否发生变化,或者通过经验或理论来判断\(A\)\(C\)是否能产生关系,等等。 假设我们发现\(A\)\(C\)是互相独立,没有逻辑关系的,而发现\(A\)\(B\)有逻辑关系,\(C\)\(D\)有逻辑关系,而\(E\)与它们都没有逻辑关系。 然后,我们可能去通过比较倾向来看,\((A,B)\)\((C,D)\)这两对逻辑关系有没有共同之处,能不能通过相等倾向来产生更高一层的逻辑关系,能不能把逻辑关系进行泛化,等等。 当然,一个抽象事件可能会有多个原因,比如\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)都是\(E\)的原因。

否定倾向会引导我们用各种方法去试图否定我们建立起来的逻辑关系,我们称之为(逻辑)验证(与泛化验证相区别),比如这逻辑关系本身有没有问题,适用范围有没有问题,等等。

  • 一个小孩会不自觉地去验证大人和他说的道理到底对不对。 小孩提出一个问题,大人提供一个适用性更广的原理,即更本质的原理。 小孩会先去验证这个原理是否真的适用这个例子:这是逻辑验证的体现。 如果他发现不适用,他会指出来;如果适用,他会试图把这个原理应用到别的例子上,看看在那里是不是适用:这是泛化验证的体现。

  • 验证在科学中的体现:实验。 科学的目的是在概念的世界里构建(数学)模型,去逼近经验世界里发生的客观现象。 而为了验证这个逼近是否正确和精确,我们会使用实验的方法。 具体来说:

    • 在经验的世界里,我们实现我们的实验设计并完成实验。实验设计,严格来说是在一个概念世界中完成的,我们姑且称它为“实验设计概念世界”。 实验设计的目标,是尽量突出待验证理论涉及因素的影响,而尽量排除其他因素的影响。

    • 在概念的世界里,我们通过逻辑推理从逻辑前件(推理前提)来得到逻辑结论。需要注意的是,这里说的概念世界是“科学理论概念世界”,而非“实验设计概念世界”。

      • 逻辑前件具体包括:

        • 科学中的定律,或者科学家对科学定律的猜想。

        • 推理中可以使用的逻辑和数学工具:事实上被科学定律所暗含。

        • 对实验条件进行理论表述:比如诸实验对象的各种性质(比如质量和温度),比如初始条件和边界条件。

      • 逻辑推理具体是指,通过逻辑前件中所有要素的相互作用,来对实验结果作出理论预测的过程。 在这个过程中,我们可以用科学定律来描述具体选定的对象以及它们之间的关系,可以用实验条件的理论表述来确定科学定律中所有具体的参数来得到确定的方程, 可以用数学工具在各方程之间进行推导和求解(人工求解或使用计算机进行数值计算),等等。

      • 逻辑结论即对实验结果的理论预测。

    • 实验验证的原理:

      • 实验中使用高度精确的测量技术,这使得逻辑前件中的“实验条件”(比如环境温度)可以在概念世界中被精确地表述,实验结果(比如测量值)也可以在概念的世界中被精确的表述。

      • 逻辑和数学的正确运用,保证了推理的合法性。严格地说,这种合法性也是一种假设。 然而,人类的一切活动,都印证了这种合法性:如果逻辑推理或数学推理得出了错误的结论,那必然是因为推理中包含错误(包括对于使用到的定理和方法本身的推理),而不是因为逻辑或数学本身有问题。

      • 如果以上两条都被满足,那么科学定律如果是完备的,就是可证伪的。 我们假定观测值与理论值,在考虑了实验误差后,仍然不能被认为是相同的。 否定倾向决定了,不同的结果必须要有不同的原因:否则这个原因就是不完备的(这正是人们对量子力学诠释的争议所在,我们暂且不讨论它),而这与题设矛盾。 因为我们假设以上两条都被满足,所以除了科学定律之外的逻辑前件的精确性都被保证,进而我们就可以知道,导致实验测量值与理论预测值不符的原因,就只能是科学定律(猜想)的问题。 因此,只要我们保证精确的测量和正确的推导,对一组完备科学定律(猜想)的证伪,就是可操作的。

      • “可证伪性”,从本质上来说,提供了让否定倾向的评判功能得以运作的可能性:否定的失败,正是让人们去不断确信一个命题的正确性的根本原因。 因此,证伪的不断失败,使得人们越来越确信科学定律的有效性。

17.5. 与其他公理的关系

逻辑倾向作用于抽象事物,而抽象事物的产生,则是其他所有认识倾向所提供的。 逻辑倾向产生的结论,则可以被用作其他各公理的素材。 更具体的,我们在本章上文中,和本篇其他章的最末一节中,已经讨论,在此不再赘述。