24. 量与测量¶

完全精确的知识，只有逻辑学和数学。为了尽量精确地研究具体对象，泛化倾向就指引我们把数附加于具体对象之上：这就是量，比如体积、质量、能量、温度、时间、位置、速度、加速度等等。量，从根本上说，来自于人们对感官世界中对象的测量，但是它也可以被泛化为抽象世界中对象的性质。量的定义，决定于我们的测量方式。要测量，我们就要有一个标准：比如我们用尺子测量长度，用钟测量时间，用温度计测量温度，等等。

所以，量的本质，是使用数来表示具体对象某一方面的性质。我们一定要注意量与数的差别：数是大脑的概念构造，而量是用测量的方法把对象的某一种性质和数对应起来。严格地来说，对于数，我们可以推导，但对于量，我们只能观测。只有当大量的观测结果向我们显示出这些量之间符合一定的数学规律后，我们才能用这个数学规律对量的方程进行推导。我们尤其不能想当然地认为观测的量自然地组成一个欧氏空间：比如想当然地认为温度这个量应该是定义在从负无穷到正无穷这个区间之上的。

我们要进行量化，就要首先定义单位量，并规定如何验证其他量与其相等的方法。在人的五感中，只有借助视觉，我们才可能定义相等。其他的四种感觉相对来说缺乏精确性和客观性。比如，我们借助体感来感受温度，是很不准确的：为了知道更准确的温度，我们就会去看温度计，而温度计就是一种把温度转变成视觉上的刻度的仪器。我们的味觉和嗅觉则不仅不稳定，也缺乏客观的标准：比如有的人觉得一个蛋糕很甜，而另一个人可能就觉得不够甜；比如糖水在加少量盐之后尝起来会更甜。人类的听觉倒是在很多方面比以上三种感觉精确，比如对给非常和谐的纯八度上加上一点搅动，我们就会听出“拍”的感觉，如果继续搅动，声音就会变得非常刺耳。但它仍然缺乏绝对性：世界上具有绝对音高能力的人少之又少；对于听觉比较自然的对数空间比平直空间更为难以理解；把其他的物理量直接转化为听觉，即不是先转化为视觉再转化为听觉（比如挂金属球的香钟），在电子产品出现以前也难以操作。

24.1. 长度¶

人类首先发现的度量方法，应该是度量空间的方法。为此，我们可以直接定义一个对象的长度为单位长度。对一个个体的人来说，最方便的单位长度就是我们身体上某部位的长度：比如把一尺定义为尺骨的长度，一寸定义为寸骨的长度，一英尺（foot）定义为脚的长度。使用这些单位长度，我们不需要额外的工具就可以对长度进行粗略的测量。用这种方法来定义单位长度，当然有其局限性：不仅不同人同一部位的长度一般并不相同，即使同一个人同一部位的长度，也会因为年龄的变化而改变。这样，我们就发明了尺子。最原始的尺子不一定有刻度：我们只需要统一单位长度。为了方便测量比单位长度更长或更短的长度，我们就发明了带刻度的尺子。在华夏文明的范围内，秦始皇统一了度量衡：其中的度就是指长度。在国际范围内，我们先是使用国际米原器来定义什么是一米，之后转而使用更精确、更普遍的光速来定义1米为“光在真空中于1/299792458秒内行进的距离”。当然，这个定义里用到了时间单位“秒”，这是我们将在我们下一小节要讨论的概念。

24.2. 面积和体积¶

虽然我们无法确切知道面积这个概念在古人那里是如何起源的，但这个概念大抵与土地丈量有关。最初，人们大概把每块田地划分成同样的规格，比如标准正方形，然后去数一大片田地包括多少个标准正方形：大概正是这种二维空间上的计数引导人们产生了“面积”的概念。然后，泛化倾向引导人们去认为不光由标准正方形拼凑起来的图形有面积，其他图形也有面积。他们先假定一个图形（比如标准正方形）的面积为标准面积，并假定面积在切分与组合的操作下具有不变性（这类似于算术中的两个计数假设），来计算面积。使用切分倾向和组合倾向，人们很早就成功地发现了多边形面积的计算方法。这本身正是一种泛化的成功：人们把面积的概念成功地从正方形上泛化到多边形上去。进而，人们会进一步地泛化并认为，任何图形都有面积。为此，他们要么通过间接测量的方法，比如通过测量等厚物体体积的方法来间接测量面积，要么采用精细的分割来用多边形的面积和来逼近一般图形的面积，最终用极限的方法得到了黎曼积分或者勒贝格积分。因此，作为普遍概念的面积，是由一个原型的面积泛化而来的，而在此过程中，每一步泛化的成功都使人们坚定信心，来对面积这个概念进行进一步的泛化。要注意，以上泛化过程严格来说是发生在“数与直观的世界”里，而不是发生在“物理量的世界”里。

至于体积，古人主要关心固体和液体的体积。如果忽略温度变化和液体的蒸发，那么液体和固体的体积就都有不变性（经验规律，为否定倾向所验证），然后我们就可以进而用这种性质来测量任何形状物体的体积：这使得测量体积比测量面积在很多情况下更为简单。当然，如果我们不能使用这种方法，比如要测量的对象太大，或者要对体积本身作数学上的研究，那我们还是要采用我们在讨论面积时使用过的泛化定义法：比如先选择一个正方体作为标准体积，然后以此为基础用切分和组合的方法来计算一些其他几何体的体积，最终用极限的方法得到了用积分来求一般几何体体积的方法。

24.3. 时间¶

人们对时间的直观感受非常不精确。在我们的直观感觉上，时间是连续的。但当我们有意识地去认识时间时，我们则至多能认识它的一些离散取样。在我们做有趣的事情时，我们会感觉时间过得非常快，而我们在等人时，却经常感觉时间过得非常慢。在我们睡觉时，我们经常感觉那几个小时好像也就是一小会儿。

人们在类比倾向下，产生了如下的观点：相同事件经历的时间也相同。对于当代的我们，则可以在理论物理的世界中想象，如果支配这个宏观系统的微分方程给定，所有的参数给定，初始条件和边界条件也给定，那么如果系统是适定的，它在时间上的演化方式就是唯一的。对于古人，则更多的是一种猜想。比如他们没有质量的概念：假使月亮的质量是随时间迅速变化的，那用它作参照来定义“月”这个时间单位就是不理想的。

为了定义单位时间，我们同样需要借助空间。古人最早大概是从日月星辰的周期性运动，以及四季的周期性变化，来认识时间的。人们发现了日夜交替的周期变化，定义了日。人们发现了月相的周期变化，定义了月。人们发现了四季的周期变化，定义了年。人们感觉太阳和月亮每天匀速地在天穹上运动，所以推断可以用它们来测量更短的时间：比如在很多古老文明里都有日晷的身影。星星也会用来标记时间，比如古埃及的人知道，当天狼星在拂晓时从东方地平线升起时（偕日升），尼罗河的河水就泛滥了：他们把这一天定为一年的开始。

当然，用自然现象定义单位时间，多少有些不可控，日月星辰的匀速运动假设也并非完全精确。在夜晚或者在阴天时，我们就无法使用太阳在天空中的位置来推测时间了。于是，人们就开始研究用其他方法来定义单位时间。在“相同事件经历的时间也相同”这个观点的启发下，人们就去设计可以产生“相同事件”的装置来计量时间。比如，人们可以把单位时间定义为，沙漏里沙子从一个流沙池完全流到另一个流沙池所需的时间，一支蜡烛燃尽所需的时间，一柱香燃尽所需的时间，一漏壶水滴完所需的时间，等等。要计量更长的时间，我们只需在沙漏中的沙流完后反转沙漏，或者制造相同规格的蜡烛或香，并在一支燃尽后点燃另一支。当然，我们也可以给这些计量工具加上刻度来测量更短的时间。总而言之，被用于定义单位时间的物理事件需要具备三个条件：

事件本身必须具有可重复性。
明确的起始时刻。我们可以把一个瞬时动作为起始时刻：比如反转沙漏、比如点燃香或者蜡烛。我们也可以用视觉观察来确定起始时刻，比如香烧到了“开始”的那个刻度。
明确的终止时刻。最简单的，是我们明确地看到沙子或水漏完了，蜡烛或香燃尽了（蜡烛钟和香钟）。当然这在实际使用中很不方便。所以古人就有了很多有趣的发明：比如中国的古人在香的某个刻度上挂一个金属球，当香烧到这个地方时，金属球就掉到一个金属盘中，发出响声。

随着人类科学的进步，人们发明了周期性的计时工具，比如机械钟、摆钟、石英表、电子表、原子钟等。它们更为方便实用。在当代科学中，我们则使用原子能级跃迁发出电磁波的周期来定义单位时间。本书不打算讨论具体的细节。我们的关注点是：有了单位时间，时间就可以被量化了。

24.4. 温度¶

人类对温度的感知并不精确。我们的体感杂糅了温度、湿度、风速、大气压等因素，我们的温度感觉甚至与我们是饥还是饱，吃的是甜还是辣有关。为了客观地测定温度，我们发明了温度计：它用液体/气体热胀冷缩的性质把温度变化转换为体积变化，进而转换为长度变化。所以，作为量的温度，不再与我们的体感直接相关。从\(20\) ℃变到\(30\) ℃，与从\(30\) ℃变到\(40\) ℃相比较，我们只能说，温度计中液体的体积增加值相等，而绝不意味着，我们身体感受到的冷热程度变化相同。

很多中学生都会对“温度有一个下界”这个事实感到奇怪。其实抛开绝对零度的物理意义来说，我们只要分析温度的测量方法，就可以知道它必然存在一个下界。这是因为，温度的线性降低，意味着体积的线性降低。假设我们假一种永远不会凝固的“理想”的液体做温度计，那我们就容易得知“温度有下界”是“物体的体积不能为负”的必然结论。之所以我们会感到“温度有下界”这个事实比较奇怪，是因为我们习惯于想当然地把实数的结构赋予一个连续量（泛化倾向的结果）。当然从数学上来讲，我们其实很容易改变温度的定义把它的范围改变成\((-\infty,+\infty)\)，因为我们很容易在两个开区间上建立一个一一映射。

24.5. 质量和力¶

定义任意一个物体的质量为单位质量，我们就可以用天平来确定另外一个物体的质量是否与其相等（在有任何引力的情况下）。这看起来很简单。但事实上，我们经常混淆惯性质量和引力质量，因为我们从来没有发现它们不相等的经验。上面的测量方法只是测量引力质量的方法。要测量惯性质量，我们则应该依照惯性质量的定义，先分别测量力和加速度，再计算出惯性质量（在牛顿力学下）。这从逻辑上和引力质量没有任何关系。我们相信它们相等，甚至经常认为它们是同一个量，仅仅是因为这个等式甚至混淆经受住了经验的考验。所以在牛顿力学中，“惯性质量=引力质量”本身其实就是一条基本的物理定律，因为我们不能从逻辑推出它，而只能在经验中验证它。

我们也可以通过测量力来间接地测量质量。要测量力，我们经常测量力造成的形变，或是这种形变进一步引发的效应，比如压电效应。这样，我们就可以使用弹簧秤和应变片等工具来间接地测量质量。

24.6. 小结¶

有了上面物理量的测量方法，我们就可以测量其他的物理量。比如通过电磁力，我们就可以定义单位电流，进而测量电流。

当然，当代物理学会使用更客观的方法来对物理量进行测量。比如使用光速，特定电磁波的周期，基本电荷等基本物理量来给出尽量客观、尽量不随时间变化的单位量。我们的讨论则相反，因为我们遵循的是认识发生顺序原则，来讨论用量来认识世界从根本上是如何可能的。