58. 数学不需要依赖任何观测吗?

数学需不需要依赖观测,在什么意义上依赖观测,要看怎么定义观测。

我们通常把观测理解成对经验世界中的对象进行观察和测量。但是从广义上来说,观察和测量不一定非要发生在经验世界。我们只要想一想几何学就可以明白这一点。

58.1. 直观想象世界中的观测

先说“观察”。几何学中的点、线、面并不是经验对象,而是在数学世界中被想象出的直观对象。那我们对于点、线、面能不能观测呢?当然可以。我们可以闭上眼睛去想象,过两点是不是有且只有一条直线,在什么情况下有且只有一条直线:这就是对于直观想象世界的观察。如果没有这种直观中的观察,那么这个公理可能永远都无法被提出。数学家需要对数学对象和数学现象有敏锐的观察力和洞察力,而不是仅仅需要强大的逻辑推理能力。他们需要去想,什么数学现象是自己尚不能完全解释清楚甚至出乎自己意料的,什么数学现象是有研究价值的。如果一个人虽然有强大的逻辑思维能力,却缺乏数学直觉,只会通过穷举逻辑上排列组合的所有可能性去“暴力”研究数学,那这就是虽然有逻辑天赋但缺乏数学天赋的表现。

再说“测量”。要测量首先就需要定义测量单位。这在经验世界中是通过经验对象来指定的,比如尺、时钟、天平、温度计、电流表等等。在想象的直观世界中,测量单位的定义事实上更为简单,比如直接指定一个线段的长度为1。当然,在想象的直观中,我们缺乏精确的测量工具(但也会有一个大体的感觉),因此我们经常把头脑中的几何图形画在纸上来辅助我们的直观,甚至可以用尺子去测量纸上的近似图形。虽然在想象的直观世界中缺乏精确的测量工具,但我们可以为其开发精确的计算工具和操作工具(比如几何定理),这些想象世界中的存在在某种意义上说提供了一种别样的测量方法。

58.2. 数学依赖经验观测吗?

这要分两方面来回答:1、数学创造需要依赖观测吗?2、数学学习需要依赖观测吗?

58.2.1. 数学创造需要经验观测吗?

这是一个首要的问题,因为不管数学对象还是数学现场都是人的创造(而且是可重复精确创造),没有数学创造就没有数学(或者说即使有,也不可能被人所认识)。

从数学最原始的起源来说,经验观察是必不可少的。这些经验观差启发人们去抽象出数学对象和数学关系。事实上,数学是一种关于联系的纯粹形式的学问:从这个角度来讲,它不必产生于经验。然而,如果没有内容,那么空的形式难以显现出来,而经验恰恰就是体现这种联系形式的一个机会。如果没有任何经验,人能不能纯粹从理智去认识这些认识形式,我不知道(但即使可能应该也非常困难),但“没有任何经验”的直接结果是那人无法活下去(吃饭什么的都是经验),所以认为人对于联系形式的体验首先来自于经验,应该没有什么问题。从另一个角度来说,数学对象事实上是抽象化(和抽象建构)的结果,而这种抽象化的基础是经验对象。在数学后来的发展中,数学家一部分的研究课题,事实上是为了解释人们在经验世界中体会到的联系。

58.2.2. 数学学习依赖经验观测吗?

数学学习同样在一定程度上依赖经验观测。一个小孩儿在学习数学中的基础概念时,需要凭借经验世界中的例子去理解抽象的数学概念。他事实上要自己独立进行一遍抽象化过程,才能真正理解那些基础的抽象数学概念,比如什么是 1,什么是加法。

学习数学,不光要有抽象过程,还要有具象过程,也就是把一般结论用到具体实例中的过程,而最彻底的具象化就是在经验世界中的实体化(如果能实体化的话)。虽然严格来说,数学在经验世界中的运用不是纯数学的一部分,但它仍然是重要的:虽然并不是每个数学家都要考虑数学的应用,但把应用数学从数学中开除出去对数学来说并没有什么好处。

虽然在公理化的体系下,数学看起来像是一门纯粹逻辑的学问,但这只是表现数学的一种形式,或者说是一个“壳”(不可否认,一个好的“壳”很重要)。然而深入到数学内部,我们会发现,研究数学需要的创造性和想象力一点也不比其他学科少,事实上应该是更多。而经验正是这些东西的重要源泉之一。