13. 为什么逻辑学三定律（同一律、矛盾律、排中律）不能被违反，违反会怎样？¶

这三个是传统逻辑学的三定律，并不是说一定不能违反。在非经典逻辑里，矛盾律和排中律的地位就经常被撼动。比如直觉逻辑拒绝排中律，次协调逻辑拒绝矛盾律，等等。

在传统逻辑学里，其实它们不应该被名称为定律，而应该被称为公理，因为它们定义了什么叫同一，什么叫否定。而相同和否定则和逻辑的有效性直接相关。逻辑事实上是一种整理方式：它整理人从其他认识方式得来的素材。而逻辑的二分法，使得它适用于来整理所有这些认知素材。传统逻辑学三大定律的主要目的是定义什么是同一，什么是否定：其他逻辑学与传统逻辑学的区别也是在同一和否定的认定上。比如使用传统逻辑，我们要研究事件或判断A和B之间的关系，首先使用二分法：“有关系”和“没有关系”。矛盾律决定了两个事物之间不能既有关系又没有关系，而排中律决定了除了这两种可能之外，没有第三种可能。然后如果有联系，我们可以进一步研究它们之间有因果关系还是没有因果关系，有蕴含关系还是没有蕴含关系，等等。因此，对于每一个本身合理的概念（有明确的内涵和外延），“否定”都给它作了一个足够大的“筐”，使得原概念和否定得到概念合起来可以涵盖全集中的所有可能，而且一个全集中的元素一定明确地属于某一个概念（或者叫集合）。而如果我们用二分法从一个“最普遍的全集”一步一步地用二分法建立起概念系统，它一定是可以适用于我们取的那个“最普遍的全集”中所有的情况的。

然后我们来研究一下传统逻辑的三个定律到底是怎么回事。

13.1. 矛盾律和排中律¶

我们先研究一下矛盾律（也称无矛盾律）和排中律：它们事实上是“否定”这个概念在传统逻辑中的定义。传统逻辑中的矛盾律（也称无矛盾律）和排中律，与其说是逻辑定律，不如说是“否定”这个概念在传统逻辑中的定义。给定一个命题\(P\)，我们把否定它所产生的命题，称为命题\(Q\)，则命题\(Q\)要满足：

矛盾律：命题\(P\)和命题\(Q\)不能同时为真。
排中律：命题\(P\)和命题\(Q\)必有一个为真。

我们现在来分析矛盾律和排中律究竟是如何定义“否定”的。

比如我们否定“积木是方的”这个命题（命题\(P\)），得到“积木不是方的”（命题\(Q\)）。现在我们暂且抛却这个语义上的直观，只把“积木”看作一个对象，而“方”作为一个属性集合（形状）中的一个元素（方），来研究一下要满足矛盾律和排中律，命题\(Q\)需要具备什么样的条件。为了更容易理解，我们在下面的讨论中仍然使用“积木”和“形状”这两个词。

矛盾律首先告诉我们，命题\(Q\)必须要直接或间接地和积木有关，也必须要直接或间接地和积木的形状有关。如果它和积木无关，比如“苹果是红的”，它就可以和“积木是方的”共存：根据矛盾律，它不能是命题\(Q\)。如果它和积木的形状无关，比如“积木是白的”，它就也可以和“积木是方的”共存：根据矛盾律，它也不能是命题\(Q\)。
排中律进一步决定了，命题\(Q\)不能包含与积木形状无关的子命题，除非那个子命题恒为真（比如“在相对论中真空中的光速恒定”：这样的恒真子命题不在任何方面改变命题的真假）。比如“积木不是方的，而且积木是白的”就不能是命题\(Q\)，因为如果它是命题\(Q\)，则在“积木是圆的和黑的”这种情况下，命题\(P\)和命题\(Q\)都不成立。
矛盾律接着告诉我们，命题\(Q\)不能包含命题\(P\)中的任何情况。比如命题\(Q\)不能是“积木是多边形的”。
排中律最终决定了，命题\(Q\)必须包括积木除了“方形”之外其他所有的形状。

综上所述，命题\(Q\)涉及的对象只能是积木，涉及的性质只能是形状，不能包括任何的方形，而且必须要包含所有方形以外的形状。这正是我们在自然语言中一般对“积木是方的”这一命题进行否定所产生的直觉。

用矛盾律和排中律来定义“否定”，否定倾向就得到了完满的表达。矛盾律保证了最彻底的否定，因为没有任何残余没有被否定，而排中律则最大化了否定的成果，因为所有原命题不包括的情况都被蕴涵。

然而，我们并不一定非要这样定义否定。矛盾律和排中律之所以被广泛接受，或者说我们用它们定义的“否定”之所以被广泛接受，从根本上来讲，只是因为它们最好地满足了我们的否定倾向，而不是因为它们在逻辑上是“完美的”，不是因为它们必须要成立，也不是因为它们能在经验世界中被完美地应用。

在经验世界里，很多现象用非此即彼的命题来描述过于繁琐，甚至可能会成为障碍。
- 比如说，火车和隧道的关系，我们可以说有“火车在隧道里”和“火车不在隧道里”两种。然而，火车并不是一个几何意义的点，它也可以部分的在隧道里。因此，“火车在隧道里”和“火车不在隧道里”并不能完全地描述火车和隧道的关系，即不满足排中律。然而，真正的问题不在排中律，而是在，我们对什么叫“在”，什么叫“不在”，并没有严格地定义。比如，我们把“在”定义成“完全在”，那么原命题就是“火车完全在隧道里”，对其否定就是“火车不完全在隧道里”：它可以完全不在隧道里，也可以只有部分在隧道里。这是完全满足矛盾律和排中律的。我们也可以把“在”定义成“有任意一部分在”（包含了“全部在”和“只有部分在”），那么原命题就是“火车有任意一部分在隧道里”，对其否定就是“火车任意一部分都不在隧道里”，即“火车完全不在隧道里”。这也是完全满足矛盾律和排中律的。
- 比如说，一个音乐家说“无调性音乐不是音乐”，另一个音乐家说“无调性音乐是音乐”。从形式上看，第二个命题看起来是第一个命题的否定，然则在自然语言里却不一定如此。他们争论的实质其实不是这两个命题哪一个正确，而是谁对音乐的定义更合理。如果我们明确地给出“音乐”的定义，这两个音乐家（假定都是理性人）会得到一致的结论。然而，他们虽然得到一致的结论，同时又至少有一个会说，这个对音乐的定义不合理，不是他认为音乐应该有的定义。因此，这个争论的实质问题是，同一律没有被遵守。

13.2. 同一律¶

传统逻辑学中的同一律指的是，在一段逻辑论证中，一个词或一个符号所指代的内容不能发生变化。从根本上来讲，这是完美逻辑的严格性和精确性的要求。如果在一段论证中，一个词或一个符号所指代的内容发生了变化，那么纵使这段论证本身单从符号推导来看是没有问题的，也不能说明这段论证适用于符号系统所指向的系统，因为“符号”与“指向”之间一一对应的关系被破坏了。

1、在使用自然语言描述感官世界或经验世界时，同一律很难被遵守

虽然我们一般认为同一律是普遍逻辑规律，但事实上，我们在用自然语言描述感官世界或经验世界时，难以真正使用同一律。下面，我们以赫拉克利特的名言“一个人不能两次踏入同一条河流（更精确的翻译是‘相同的河流’）”为例，来说明了这个问题。

从最严格的意义上来讲，在感官世界中，两个对象完全相同，它们占据的时间和空间就必须相同。所以从这个意义上说，一个人在不同时刻不是同一个人，一条河流在不同时刻也不是同一条河流，即使人不动，河不流，也不与其他对象发生作用。
如果放宽“占据时空不能变化”这个最严格的限制，我们可以把感官世界中的物体定义为“对象化倾向所形成的对象所包含物质的总和”。然而，一条河在不同的时刻包含的水并不相同：有一些水流入，而有一些水流出。人也一样，人无时无刻不与外界进行着物质交换：比如空气被吸入呼出，比如水分通过皮肤蒸发，比如吃饭、喝水和排泄。

2、科学事实上成功地描述了感官世界，或者说至少非常接近于成功。这是因为科学使用符号语言，并且允许参数化的描述。

当然，从理论上来说，所有符号语言表达的内容都可以用自然语言表达，只是经常会非常繁琐而且不符合人们的直觉和习惯。比如，我们可以定义一条“随时间变化的河”：它在一个时刻的定义是当时水道所占据的空间加上水道周围一定范围内土壤、石头或砂石所占据的空间（比如加上河宽的5%）以及当时在这些空间中的所有物质的总和。因为总使用这样的表述很不方便，所以我们可以在符号上把它记为\(r(t)\)：这事实上是一种对象化。用符号来分析可以帮助我们意识到自然语言里一些有趣的现象。比如“我永远是我”说的绝不是“\(I(t)\equiv I(t)\)”，其中\(I(t)\)代表随时间变化的我，而其实是“\(f(I(t))\equiv c\)”，即\(I(t)\)的某种性质不随时间变化：因此同一律在这里被违背了。如果\(R\)代表对“踏入”这个关系的判断，则“我在\(t\)时刻踏入河流”就可以表示为“\(R(I(t),r(t))\)为真”； “我在\(t_1\)和\(t_2\)这两个不同的时刻踏入河流”，就可以表示为“\(R(I(t_1),r(t_1))\)和\(R(I(t_2),r(t_2))\)均为真”；而“我在\(t_1\)和\(t_2\)这两个不同的时刻踏入相同的河流”就要再加上“\(r(t_1)=r(t_2)\)”，而\(r(t)\)的定义决定了这个条件不可能为真，所以“我不能两次踏入相同的河流”。但这只是赫拉克利特对“相同的河流”的理解，即相同的河流指的是\(r(t)\)相同，而大部分人在日常生活里，集合\(\{r(t)\}\)中的所有元素都被认为是同一条河，不管它是否改道，不管它的水位是否变化：而这正是由比较倾向和相等倾向所引发的抽象化。

13.3. 抽象世界中的同一律：本质概念的不变性¶

在抽象世界中，我们可以试图建立完美逻辑，其中的原因之一就是，在抽象世界中存在满足同一律的对象。比如什么是自然数，什么是三角形，什么是质量，都是确定无疑的，虽然我们不一定知道如何去定义它们。描述物理世界的微分方程本身也是不变的，里面涉及的物理量本身的概念也是不变的，虽然物理量本身可能是参数化的。一个物理量可以是时间、空间和其他参数的函数，然而给出固定的参数值，它就是固定的、满足同一律的。

这正体现了我们在公理描述中所说的逻辑在动力上的本质倾向：我们倾向用不变的、普适的概念、命题和判断，去解释多变的现象。这也正是所有理论科学的研究目标。

与赫拉克利特“万物皆流”的观点相反，巴门尼德则指出：真实变动不居，世间的一切变化都是幻象。事实上，这两个观点是指向两个世界的：对于巴门尼德那个世界，赫拉克利特也提出过类似的概念“逻各斯”。现代自然科学所做的事情，用一种幽默的说法，就是尝试用巴门尼德式的“不动的世界”来解释赫拉克利特式的“万物皆流”的世界。

13.4. 经典逻辑定律的合理性¶

最后，我们再来看一看，这些逻辑定律究竟是不是牢不可破的。

如果我们真的要在自然语言里完全精确地定义每一个词，我们将没有日常的随意交谈，没有言简意深的诗歌：一切语言都将如同学术论文一样严谨。然而，即使学术论文，也只是新思想经过逻辑整理，最终呈现出的形式，而不是新思想产生时的本来面貌：如果科学家在大脑里只采用这种形式来进行思考，他将难以作出真正有价值的研究。我们在提出新概念和优化现有概念时，没有必要给自己加上一个“精确”的枷锁，虽然在新概念产生后，我们要对其进行严格的评判。

即使在概念的世界里，矛盾律和排中律的地位也不是绝对无可否定的。否定倾向会试图去否定一切，当然也包括矛盾律和排中律。
- 我们曾经提到过，排中律并不适用所有的命题：
  - 比如当言及的对象本身不存在时。例如当对象被相互矛盾的性质所限定时就是这样。具体的例子比如罗素的例子：“当今的法国国王是秃头”（《论指称》，1905年），比如“频率为\(1\) Hz的红光是电磁波”， “当今的法国国王（1905年）”和“频率为\(1\) Hz的红光”都是不存在的对象（这里“世界”的默认指向是“经验世界”：在“短语世界”中它们当然存在），讨论它们的任何性质，不管是肯定的还是否定的，都是没有意义的，都得不到真的结果。
  - 比如当性质不适用于对象时。比如“质量是红色的”显然是荒谬的，否定它得到“质量不是红色的”仍然是荒谬的，因此排中律在这个命题上失效。在这个例子里，“颜色”这个性质不适用于“质量”这个对象，所以不管怎么对颜色进行否定，也得不到一个真的命题。
  - 然而，以上的反例与否定在语言中的表现形式有关。我们一般认为对“是”的否定就是“不是”，然而这却可能是有问题的，因为这样一来，被否定的对象就只能是谓词而不能是主词。如果我们要进行更严格的否定，我们就要把所有的命题都写成判断：
    - 对“‘当今的法国国王是秃头’是真的”的否定是“‘当今的法国国王是秃头’是假的”；
    - 对“‘频率为\(1\) Hz的红光是电磁波’是真的”的否定是“‘频率为\(1\) Hz的红光是电磁波’是假的”；
    - 对“‘质量是红色的’是真的”的否定是“‘质量是红色的’是假的”。
    这样，我们就不仅可以否定谓词，还可以否定主词的存在性，而且可以否定主词与谓词之间的协调性。在这种形式略显繁琐的否定下，排中律得到了遵守：否定得到的命题都是真的。
- 矛盾律一般被更广泛地承认。一个原因是“爆炸原理”，即假定我们可以接受一个命题和它的否定同时为真，则我们可以以此为基础推出任何结论，不管它是正确的还是荒谬的。

以上的回答汇编了我以前写的一些内容，包括《哲学的重建》，特别是：“否定倾向公理”、“逻辑倾向公理”以及“逻辑的局限在哪？”